三个火枪手的博弈与战国七雄争霸

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设想有两位枪手甲和丙,他们在进行一场生死决斗,甲的枪法比较准,命中率有80%,而丙的枪法比较差,命中率只有40%,如果两个人隔着一段距离,同时朝对方开枪射击,最后谁获胜的可能性大?不用说,当然是枪法更好的甲。

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如果我们让决斗游戏更刺激一些,变为三人游戏,另外一个枪手乙也加入,乙的枪法中游,比甲差一些,比丙好一些,命中率为60%,决斗规则还是三人同时射出一发子弹,情况又会如何呢?

你或许觉着三人中生存机会最大的应该是甲,其次是乙,获胜机会最小的是丙。但结果可能令你大吃一惊,三个人中最容易活下来的是丙。

这是因为三人同时射击时,每一个枪手的枪口只能瞄准另外两个人中的一个,如果三人之间没有任何协议,每个人自然会朝另外两个人中威胁更大的人开枪,比如说,在乙看来,甲丙二人中,如果第一轮先把甲干掉,剩下实力较弱的丙,下一轮和他单挑对自己有利。三人博弈的结果是乙和丙都会朝枪法最好的甲射击,而甲则会朝乙射击,最后计算下来,首轮过后,甲活下来的概率为24%,乙只有20%,丙却是100%。当然,如果甲或乙有一人活下来,决斗还可能会在剩下的两人中进行第二轮,第三轮,但是单单从首轮过后的结果就可以发现,丙成为这种决斗方式大赢家的可能性最大。

本来甲和乙都做出了对自己有利的选择,把枪口瞄准了应该瞄准的人,但是结果却事与愿违,甲和乙多半会互相击中对方,"鹬蚌相争,渔翁得利",让本来最水的丙成为赢家。

这是一个经典的"三个火枪手"的博弈论模型,从中我们可以学到的一招是:如果你是丙,实力很弱,将要与一个强敌甲大战一场,必然凶多吉少,一个办法是拉另外一个强敌乙进来,把两方决斗变成三方决斗,局势一下子变乱了,本来对自己悲催的局面就可以得到根本扭转。

在现实中,和"三个火枪手"类似情形的例子有很多。在历史上,最盛产多方错综复杂的斗争博弈的故事的当数战国七雄——秦齐楚燕赵韩魏的年代了,我们就来穿越一下吧。

秦兴师临周求九鼎

话说战国在历史上算作是东周年代的一部分,当时虽然全国已经分裂成了很多个国家,在洛阳仍有一个周王朝,是名义上的中央政府,可是周王也仅仅是名义上是秦齐楚燕赵韩魏的盟主,实际上能控制的地盘不过是洛阳周围的一小块,战国七雄他哪个也惹不起,秦齐楚燕赵韩魏随便一个都可以虐一下周大王。

有一次,秦国出动大军到了洛阳附近,"听说周王那里有九个天下王权的大鼎,我们也不是想要,但就是很喜欢,呵呵。"面对大兵压境的武力威胁,周王不想把宝物拱手交出,可是自己手头的那点兵力根本没法阻挡战国七雄中实力最强的秦国,一时为了难,此时周王就相当于丙,而秦国则是强大的甲。

周王手下有个叫颜率的谋士主动请缨帮忙解决困境,他到了东边的位于山东的齐国,在齐王面前先大骂秦国是叛贼,是不义之徒,然后又说齐国才真正具有大国风范,请求齐国出兵帮忙抵御秦国,事成之后会把宝物赏赐给齐国。齐王听了很高兴,出兵一来可以树立威信,二来可以获得宝物,于是立刻派了五万大军到了洛阳。于是齐国被拖下水,作为乙也加入到了博弈之中,矛盾的焦点不再是集中在秦和周王之间,而成了秦齐两国之间。

秦国闻讯之后,不想把事情闹大,就主动撤军,不再向周王索要大鼎了。可是新的麻烦又来了,秦国不要大鼎了,齐国还要呢,这回齐国变成了甲。

周王又为了难,再次派颜率出使齐国。齐王见到颜率说,"我们事先可说好了,作为报答,周王要把大鼎给俺们作为答谢。"颜率说"我们当然说到做到,只是九鼎非普通之物,运送九个大鼎需要上万人,从洛阳到齐国有一段距离,大王也要先选个路线。"齐王说"可以途径北边的魏国"。颜率说"魏国人一直就想要九鼎,馋得都流口水了,如果路过魏国,一定会被他们半路抢去。""那我们可以选择南边的楚国。"颜帅又说,"楚国也不行,楚王也一直想打九鼎的主意。看来运动宝鼎的路线真是个难题,大王有没有其它的好办法呢?"齐王"呃……这事就先算了吧"。这一次,颜率故计重施,把其它国家又拉进来,两个火枪手情形变成三个火枪手的情形,使得危机得以化解。本来实力不堪一击的周王室不费一兵一卒,利用列强之间的矛盾两次把宝物成功地保护住了。

韩献上党,秦赵对峙长平

接下来再来看另外一个三方博弈的故事。在战国七雄中,韩国一向较为弱小,可韩国的地理位置又处在秦国通向其他各国的门户,秦国崛起之后,韩国首当其冲,为了生存,韩国只好反覆无常,一会儿帮助秦国打其他国家,一会儿帮助其他国家打秦国。这种做法让秦国很恼火,在公元前263年,秦王决定"动真格的",出动大军征讨韩国,韩无力抵抗,危在旦夕。韩王只好把韩拥有的上党地区献给秦国,以换取秦撤兵,当时韩负责镇守上党城的将领是冯亭,很显然,冯亭的任务就是等待秦军到来,把城池一交了事。可是冯亭觉着把这一块地白白交给秦国心有不甘,要跟秦军打又打不过,于是他把目光放到了另外一个国家赵国。

在这里,如果秦国是甲,韩国是丙,赵国就是乙了。在战国后期,秦国已经所向披靡,赵国是唯一一个还能和秦国较量一下的国家。"赵武灵王胡服骑射"、"蔺相如廉颇将相和","蔺相如完璧归赵"这些故事都发生在当时的赵国,通过君臣在全国上下的一些革新,赵国在当时颇具实力,拥有廉颇、赵奢、蔺相如等人才。秦国战场上先后被赵国的廉颇、赵奢击败过,连骗个和氏璧也没骗成,自然颜面大失,秦赵两国间早晚会有一场大战发生。

冯亭派人告诉赵王,"韩国要把上党割让给秦国,但是上党百姓都痛恨秦国,希望归顺赵国",赵王在上党这块地势险要土地的诱惑下,觉着白白送上手的土地怎么能不要呢,于是派人去接收上党。

秦国听说赵国要趁火打劫,先一步夺取上党,大怒之下立刻派兵攻打赵国,因为这件事秦赵两国大打出手,最后演变成了两国出动全国兵力,决一生死的长平大战。

后来的结果大家都知道,赵国先是派老将廉颇应战,双方战局僵持不下,后来赵奢的儿子赵括接替廉颇,结果赵括纸上谈兵,盲目进攻被围,赵军大败,四十万大军都被坑杀。在长平大战中,赵国兵力损失殆尽,而秦国伤亡也很惨重,需要很长一段时间才能恢复元气,而秦国下一步计划是利用剩余的兵力一鼓作气攻克赵国首都邯郸,灭掉赵国,根本无暇顾及韩国。通过献出上党,挑拨起了秦国和赵国的矛盾,韩国一下子就转危而安了,成为了甲乙丙中那个损失最小的丙。

三个火枪手的另一种玩法

我们再回到三个火枪手的情境中,如果游戏规则变一下,不是三个人同时开枪,而是轮流开枪,会怎么样呢?

在这种情况下,丙依然有一定优势,假设三人的先后顺序是甲乙丙,在丙之前,很可能甲把乙打死或者乙把甲打死,甲乙只剩一人,然后轮到丙的时候,丙可以向剩下的一个人射击,如果打中,丙就是赢家;如果打不中,才轮到丙被打,而甲或乙命中率也不是100%,丙仍然有机会。丙的好处就在于可以先让甲乙两人互相斗,然后拥有主动权去收拾剩下的那个。

如果三人的先后顺序中丙在第一个,又怎么办呢?丙似乎应该像三人同时开枪情况下那样先攻击甲乙中较强的甲,可是仔细想一想,这并不划算,因为如果真把甲打死了(尽管丙枪法并不好),接下来就轮到乙开枪了,后果你懂的。

出乎意料,丙如果有第一个开枪的机会,正确的做法是谁也不打,朝天开枪,这样轮到下一个甲或者乙的时候,甲还会先打乙或者乙打甲,然后轮到丙再次射击收拾残局的时候仍然占先机。

这个推理结果表面上看多少有点不可思议,但是我们再次穿越回战国年代,看一看秦国和魏国之间的博弈,就会发现丙的这种策略很符合现实。

秦魏与甲乙丙

在文章前面提到的两个故事中,秦国已经成了战国七雄中最强的一个,但其实秦国在商鞅变法之前,实力平平,在战国初期,地理位置偏僻的秦国在战国诸雄之中甚至处于垫底的位置,也就是个"小丙"。

在战国初期,七国中实力最强的国家是魏国,这是因为当时魏国有两个牛人,文有李悝,武有吴起,两人对国家进行改革,使得魏国从诸侯中脱颖而出,称霸一时。魏国与周围国家的战争中不断取胜,称得上是七国中的"甲老大"。

不过其它国家也不甘心于魏国一天天的牛叉哄哄的样子,东边的齐国就是其中一个,齐拥有田忌和孙膑(赛马的那两位)两位大神,有一次,魏国去攻打赵国,齐国来了个"围魏救赵",给魏国了一个下马威。后来魏国的庞涓和齐国的田忌、孙膑多次交手,在襄陵之战中,魏国打败齐国,但是后来的马陵之战中孙膑使用计谋让庞涓中了埋伏,齐国取得决定性胜利。

在这段历史时期,作为魏国邻居的秦国商鞅变法刚刚开始,国家实力依然较弱,不仅比不上最强大的魏国,恐怕也不敢跟魏国的对手齐国赵国等国叫板,在魏国与其它国家进行战争的时候,起初秦国也想去分一杯羹,掺和掺和。但后来商鞅向秦王进谏说,现在秦还不够强大,如果去帮魏国,魏国打赢了那些国家,回头就会解决咱们;如果帮别的国家打魏国,那些国家打败魏国之后恐怕也要顺便解决了咱们。咱们最好还是谁也不惹,韬光养晦,让那些国家之间残杀,坐山观虎斗,时机成熟了再出手,于是秦王为了不得罪魏国,乖乖地尊魏国为王,同时也也与其他国家和好。此时秦国作为丙,让那些强大的甲和乙之间互相决斗,自己不出手,等待机会,正如丙作为轮流射击的三个火枪手中的第一个的情况。

待到后来,马陵之战后,魏国实力下降,而经过多年的发展,秦国实力逐渐上升,如果魏国还是甲的话,秦国至少已经是乙了,此时坐在旁边看已经不是最佳策略,这时正赶上齐国、赵国的联军进攻魏国,秦军也加入进去,魏国被打的满地找牙,秦国也从魏国那里获得了不少好处。

再后来,秦国实力进一步增强,已经成了战国七雄中的老大,称得上"甲"了,可是魏国越来越衰,从当年的霸主踏入了第三世界,沦落成了"小丙"。在甲乙丙的博弈中,乙和丙常常会同时把枪口对准了甲,对于甲来说,如果能把丙拉到自己一边将会很有利。于是秦国对待魏国的态度再次发生了转变,这时秦国的主要对手"乙"是齐国、楚国那些国家,魏国已经不再举足轻重,所以秦国主要不再攻打魏国,而是拉拢魏国作为自己的同盟,一起攻打其它国家。在战国后期,其他六国联合到一起进攻秦国称为"合纵",秦国把六国中较弱的国家拉拢过来,拆散联盟成为"连横",最终"合纵"一直被"连横"破坏,秦国得以逐一把六国灭掉。

在战国七雄争霸中,秦国最后能够灭六国统一中原除了依靠实力以外,在丙乙甲不同的实力对比阶段,采取了正确的博弈策略也是制胜法宝之一。

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